Производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи определяется соотношением , при . Ее члены Выведем производящую функцию для этой последовательности.

Определяющее соотношение для последовательности значит, что ее производящая функция удовлетворяет соотношению , откуда .

Представим дробь в виде суммы простых Производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи дробей:

\begin{array}{l}<br /> \displaystyle<br /> {s\over 1-s-s^2}=-{5+\sqrt{5}\over 10s_1}\cdot{1\over 1-{s\over s_1}}- {5-\sqrt{5}\over 10s_2}\cdot{1\over 1-{s\over s_2}}=\\[5mm]<br /> \displaystyle<br /> =-{5+\sqrt{5}\over 10\cdot{-1-\sqrt{5}\over Производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи 2}}\left(1+{s\over s_1}+{s^2\over s_1^2}+\dots\right)-{5-\sqrt{5}\over 10\cdot{-1+\sqrt{5}\over 2}}\left(1+{s\over s_2}+{s^2\over s_2^2}+\ldots\right)=\\[5mm]<br /> \displaystyle<br /> =-{1\over \sqrt{5}}\left(1+{s\over s_1}+{s^2\over Производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи s_1^2}+\ldots\right)+ {1\over \sqrt{5}}\left(1+{s\over s_2}+{s^2\over s_2^2}+\ldots\right),<br /> \end{array}

тут .

Отсюда

\begin{array}{l}\displaystyle<br /> f_n={1\over \sqrt{5}}(s_2^{-n Производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи}-s_1^{-n})={(-1)^n\over<br /> \sqrt{5}}(s_1^n-s_2^n)=\\[5mm]<br /> \displaystyle<br /> ={(-1)^n\over \sqrt{5}}\left(\left({-1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n-\left({-1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\right).<br /> \end{array}

Тут мы пользовались тем, что .


proizvodyashaya-funkciya-dlya-posledovatelnosti-chisel-fibonachchi.html
proizvodyashie-viplati-fizicheskim-licam.html
proizvolnij-treugolnik.html